Kamis, 07 Februari 2013


1. PENERAPAN FUNGSI LINEAR PADA PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI

Pajak : Adalah merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap wajib pajak, tanpa mendapatkan balas jasa secara langsung.
Pajak yang akan dimasukan dalam menentukan keseimbangan ini adalah pajak per-unit dan pajak prosentase.
Pajak per-unit :
 adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu, dimana barang tersebut besarnya ditentukan dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan.  
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada Pajak : S  → Pt    =   f  ( Q )  +  t


Pajak Prosentase:
            Adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu dimana pajak tersebut diperhitungkan sebesar prosentase yang tetap dari hasil penerimaannya.
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada Pajak : S  → Pr    =   f  ( Q ) ( 1 + r )

SUBSIDI :
            Merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen  / supplier terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya sehingga harga yang berlaku dipasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga yang lebih rendah dengan jumlah yang dapat dibeli masyarakat lebih besar.
            Besarnya subsidi yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan atau dipasarkan.
Yang dikenakan subsidi disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada subsidi : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada subsidi : S  → Ps   =   f  ( Q ) -  S

GRAFIK  FUNGSI DARI PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
  1. GRAFIK PENGARUH PAJAK
                                P
                                                                                   S1 (S sesudah ada pajak)
                              P1                                                           S (sebelum ada pajak)
                   P0                                E1   
                                                                                       E      


                                                                           Q1     Q0                         Q
                                                                       
  1. GRAFIK PENGARUH SUBSIDI

                                P
                                                                                   S (S sebelum ada subsidi)
                             P0                                                         S1 (sesudah ada subsidi)
                  P1                                 E
                                                                                      E1     


                                                                               Q0     Q1                     Q
Contoh Soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :
  1. Permintaan → P  =  16 – 4 Q
Penawaran →  P  =  5  +  Q 
Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak per-unit Rp 3,-, pajak persentase 25 % , dan subsidi Rp 2,- per-unit, maka berapakah titik keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak, serta gambarkan grafiknya.
  1. Permintaan → P  =  2 Q2  -  7 Q  + 10
Penawaran → P  =  6 Q  +  3 Q2  +  8
a.       Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 2 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak.
b.      Jika terhadap barang tersebut dikenakan subsidi sebesar Rp 3 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada subsidi.
c.       Gambarkan grafik dari kedua soal tersebut.
Cara Menghitung Nilai Pajak dan Subsidi :
  1. Pajak per-unit yang ditanggung oleh produsen
Ts  =  Po  -  f  ( S )
Dimana:  Po adalah  Nilai P eq sebelum ada pajak
                F (S) = fungsi supply yang nilai Q diambil dari nilai Q setelah
                ada pajak .
  1. Total pajak yang ditanggung oleh Produsen
                Px  =   Ts  ×  Qt
  1. Pajak per-unit yang ditanggung konsumen
Td  =  Pt  -  Po
  1. Total Pajak yang ditanggung konsumen
Kx  =  Td  ×  Qt
  1. Besarnya Pajak yang diterima pemerintah
Qt  ×  t  → untuk pajak per-unit
Qt  ×  ( 1 + r  ) → untuk pajak posentase
  1. Besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah
Gs  =  S  ×  Qs
  1. Besarnya Subsidi yang dinikmati Konsumen
Ks  =  ( Po  -  Ps ) (Qs)
  1. Besarnya subsidi yang dinikmati Produsen
Ps  =  Gs  -  Ks

Keseimbangan pasar dua macam Produk :
Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut
            Qdx  =  a0  -  a1 Px +  a2 Py
            Qdy  =  b0  + b1 Px  + b2 Py

Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut
            Qsx  =  - m0  +  m1 Px  + m2 Py
            Qsy  =  - n0  +  n1 Px  +  n2  Py
Dimana :
            Qdx  = Jumlah yang diminta dari produk X
            Qdy  = Jumlah yang diminta dari produk Y
             Qsx  =  Jumlah yang ditawarkan dari produk X
             Qsy  =  Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
              P x  =  Harga Produk X   
              P y  =  Harga Produk Y
              Variable a, b, m dan n adalah konstanta


Contoh soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :
            Qdx  = 5  -  2 Px  + Py
            Qdy  = 6  +  Px  -  Py
            Qsx  = - 5  +  4Px  -  Py
            Qsy  =  - 4  -  Px  +  3 Py
Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar.
Jawab :
            Syarat keseimbangan pasar  Qdx  =  Qsx  atau Qdy  = Qsy
            Qdx  =  5 – 2 Px  +  Py
            Qsx  =  - 5 + 4 Px – Py  -
               0    = 10  - 6 Px  + 2 Py
                                                  
            Qdy  =  6  +  Px  -  Py
            Qsy  =  -4  -  Px  + 3 Py   -  
              0    =  10  + 2 Px – 4 Py
Masukan dalam bentuk persamaan :
0  =  10  -  6 Px  + 2 Py           → (X 2) →               0 = 20  -  12 Px  + 4 Py
0  =  10  + 2 Px  -  4 Py           → (X 1) →               0 = 10  +   2 Px  -  4 Py  + 
                                                                                  0  = 30  - 10 Px  +   0
                                                                                  10 Px  =  30
                                                                                       Px  =  30 / 10  =  3
Maka  Py dapat dicari dari  0 =  10  - 6 Px  + 2 Py
-2 Py  =  - 10  +  6 Px
-2 Py  =  - 10  +  6 (3)
    Py  =  - 10  +  18         →   Py  =  4
                       2
Maka Qx  dan Qy dapat dicari dengan memasukan persamaan sbb :
Qx  =  5  -  2 Px  +  Py
Qx  =  5  -  2 (3)  +  4    jadi   Qx  =  3
Qy  =  6  +  Px  -  Py     jadi   Qy  =  6  +  3  - 4 =  5

FUNGSI  BIAYA DAN PENERIMAAN
Biaya secara umum terdiri dari :
1.      Biaya Total (Total Cost = TC ) =  TFC  +  TVC
2.      Biaya tetap Total (Total Fixed Cost = TFC )  =  TC  -  TVC
3.      Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost = TVC ) = TC  -  TFC
4.      Biaya Tetap rata-rata (Avarage fixed cost = AFC )  = AFC  /  Q
5.      Biaya variable rata-rata (Avarage Variabel cost = AVC )  = AVC / Q
6.      Biaya rata-rata (Avarage Cost = AC )  =  TC / Q
7.      Biaya Marginal ( Marginal Cost =  MC ) =  ∆ TC /  ∆ Q

Penerimaan = Revenue, terdiri dari :
1.      Total Revenue (TR) =  P  x  Q
2.      Avarage Revenue (AR) =   TR / Q  =  P
3.      Marginal Revenue (MR)  =  ∆ TR / ∆ Q
4.      TR maximum akan berada pada  Q =  -b / 2 a
5.      Profit atau keuntungan  = TR  -  TC
6.      Break Even Point ( BEP ) akan terjadi pada saat : TR  =  TC
Contoh Soal:
1.         Diketahui Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukan oleh  P =  1200  -  2,5 Q 
Pertanyaan :
a.       Bagaimanakah persamaan total penerimaannya
b.      Berapa besarnya total penerimaan jika barang yang terjual sebanyak 200 unit.
c.       Berapa harga jual per-unit
d.      Hitunglah penerimaan marginal dari penjualan sebayak 200 unit menjadi 250 unit
e.       Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut
f.       Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok (BEP), jika diketahui TC = 2000  +  100 Q

Soal 2 :
Jika diketahui penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan adalah sebesar
TR  =  20 Q  -  0,10 Q2  sedangkan biaya total yang dikeluarkan  adalah sebesar :
TC  =  0,25 Q3 – 3 Q2 + 7 Q  + 20.
 Hitunglah profit perusahaan ini jika  terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.                     
FUNGSI PRODUKSI
Bentuk fungsi produk total yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak.
Bentuk umum dari fungsi produksi adalah :
Produk Total               :  P  =  f (X)
Produk rata-rata          :  AP  =  P / X
Produk Marginal         :  MP  =  ∆P / ∆X
            Secara grafik, kurve produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurve produk marginal ( MP =0 ). Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik belok kurva P. Disamping itu kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum AP. Hal ini dapat dilihat pada grafik berikut :
                               P
                         


                                                                                    P=f (X)





                                                                                                        AP
                                 0                                                                                        X
                                                                                                   MP
Contoh soal ;
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen adalah sebesar ;
P = 9 X2  -  X3
Buatlah persamaan produk rata-ratanya, serta hitunglah total produk  dan produk rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa marginal produknya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit.

Jawab :
P  =  9 X2  -  X3  →  AP  =  P / X  =  9 X  -  X2
Untuk  X = 6      →    P  =  9 ( 62 ) -  63 =  108
    →  AP  =  9 ( 6 ) -  62  =  18
Untuk  X  = 7      →    P  =  9 ( 72 ) -  73 =  98
                            →  MP  =  ∆ P /∆ X  =  108  -  98   =   -  10
                                                                        7 -  6

Kesimpulan ; produk marginal hasilnya negatif, artinya masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi.
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI DALAM PENERAPAN FUNGSI

Pajak : Adalah merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap wajib pajak, tanpa mendapatkan balas jasa secara langsung.
Pajak yang akan dimasukan dalam menentukan keseimbangan ini adalah pajak per-unit dan pajak prosentase.
Pajak per-unit :
 adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu, dimana barang tersebut besarnya ditentukan dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan.  
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada Pajak : S  → Pt    =   f  ( Q )  +  t


Pajak Prosentase:
            Adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu dimana pajak tersebut diperhitungkan sebesar prosentase yang tetap dari hasil penerimaannya.
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada Pajak : S  → Pr    =   f  ( Q ) ( 1 + r )

SUBSIDI :
            Merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen  / supplier terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya sehingga harga yang berlaku dipasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga yang lebih rendah dengan jumlah yang dapat dibeli masyarakat lebih besar.
            Besarnya subsidi yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan atau dipasarkan.
Yang dikenakan subsidi disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada subsidi : S  → P    =  f  ( Q )
Sesudah ada subsidi : S  → Ps   =   f  ( Q ) -  S

GRAFIK  FUNGSI DARI PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
  1. GRAFIK PENGARUH PAJAK
                                P
                                                                                   S1 (S sesudah ada pajak)
                              P1                                                           S (sebelum ada pajak)
                   P0                                E1   
                                                                                       E      


                                                                           Q1     Q0                         Q
                                                                       
  1. GRAFIK PENGARUH SUBSIDI

                                P
                                                                                   S (S sebelum ada subsidi)
                             P0                                                         S1 (sesudah ada subsidi)
                  P1                                 E
                                                                                      E1     


                                                                               Q0     Q1                     Q
Contoh Soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :
  1. Permintaan → P  =  16 – 4 Q
Penawaran →  P  =  5  +  Q 
Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak per-unit Rp 3,-, pajak persentase 25 % , dan subsidi Rp 2,- per-unit, maka berapakah titik keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak, serta gambarkan grafiknya.
  1. Permintaan → P  =  2 Q2  -  7 Q  + 10
Penawaran → P  =  6 Q  +  3 Q2  +  8
d.      Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 2 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak.
e.       Jika terhadap barang tersebut dikenakan subsidi sebesar Rp 3 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada subsidi.
f.       Gambarkan grafik dari kedua soal tersebut.
Cara Menghitung Nilai Pajak dan Subsidi :
  1. Pajak per-unit yang ditanggung oleh produsen
Ts  =  Po  -  f  ( S )
Dimana:  Po adalah  Nilai P eq sebelum ada pajak
                F (S) = fungsi supply yang nilai Q diambil dari nilai Q setelah
                ada pajak .
  1. Total pajak yang ditanggung oleh Produsen
                Px  =   Ts  ×  Qt
  1. Pajak per-unit yang ditanggung konsumen
Td  =  Pt  -  Po
  1. Total Pajak yang ditanggung konsumen
Kx  =  Td  ×  Qt
  1. Besarnya Pajak yang diterima pemerintah
Qt  ×  t  → untuk pajak per-unit
Qt  ×  ( 1 + r  ) → untuk pajak posentase
  1. Besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah
Gs  =  S  ×  Qs
  1. Besarnya Subsidi yang dinikmati Konsumen
Ks  =  ( Po  -  Ps ) (Qs)
  1. Besarnya subsidi yang dinikmati Produsen
Ps  =  Gs  -  Ks

Keseimbangan pasar dua macam Produk :
Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut
            Qdx  =  a0  -  a1 Px +  a2 Py
            Qdy  =  b0  + b1 Px  + b2 Py

Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut
            Qsx  =  - m0  +  m1 Px  + m2 Py
            Qsy  =  - n0  +  n1 Px  +  n2  Py
Dimana :
            Qdx  = Jumlah yang diminta dari produk X
            Qdy  = Jumlah yang diminta dari produk Y
             Qsx  =  Jumlah yang ditawarkan dari produk X
             Qsy  =  Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
              P x  =  Harga Produk X   
              P y  =  Harga Produk Y
              Variable a, b, m dan n adalah konstanta


Contoh soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :
            Qdx  = 5  -  2 Px  + Py
            Qdy  = 6  +  Px  -  Py
            Qsx  = - 5  +  4Px  -  Py
            Qsy  =  - 4  -  Px  +  3 Py
Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar.
Jawab :
            Syarat keseimbangan pasar  Qdx  =  Qsx  atau Qdy  = Qsy
            Qdx  =  5 – 2 Px  +  Py
            Qsx  =  - 5 + 4 Px – Py  -
               0    = 10  - 6 Px  + 2 Py
                                                  
            Qdy  =  6  +  Px  -  Py
            Qsy  =  -4  -  Px  + 3 Py   -  
              0    =  10  + 2 Px – 4 Py
Masukan dalam bentuk persamaan :
0  =  10  -  6 Px  + 2 Py           → (X 2) →               0 = 20  -  12 Px  + 4 Py
0  =  10  + 2 Px  -  4 Py           → (X 1) →               0 = 10  +   2 Px  -  4 Py  + 
                                                                                  0  = 30  - 10 Px  +   0
                                                                                  10 Px  =  30
                                                                                       Px  =  30 / 10  =  3
Maka  Py dapat dicari dari  0 =  10  - 6 Px  + 2 Py
-2 Py  =  - 10  +  6 Px
-2 Py  =  - 10  +  6 (3)
    Py  =  - 10  +  18         →   Py  =  4
                       2
Maka Qx  dan Qy dapat dicari dengan memasukan persamaan sbb :
Qx  =  5  -  2 Px  +  Py
Qx  =  5  -  2 (3)  +  4    jadi   Qx  =  3
Qy  =  6  +  Px  -  Py     jadi   Qy  =  6  +  3  - 4 =  5

FUNGSI  BIAYA DAN PENERIMAAN
Biaya secara umum terdiri dari :
8.      Biaya Total (Total Cost = TC ) =  TFC  +  TVC
9.      Biaya tetap Total (Total Fixed Cost = TFC )  =  TC  -  TVC
10.  Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost = TVC ) = TC  -  TFC
11.  Biaya Tetap rata-rata (Avarage fixed cost = AFC )  = AFC  /  Q
12.  Biaya variable rata-rata (Avarage Variabel cost = AVC )  = AVC / Q
13.  Biaya rata-rata (Avarage Cost = AC )  =  TC / Q
14.  Biaya Marginal ( Marginal Cost =  MC ) =  ∆ TC /  ∆ Q

Penerimaan = Revenue, terdiri dari :
7.      Total Revenue (TR) =  P  x  Q
8.      Avarage Revenue (AR) =   TR / Q  =  P
9.      Marginal Revenue (MR)  =  ∆ TR / ∆ Q
10.  TR maximum akan berada pada  Q =  -b / 2 a
11.  Profit atau keuntungan  = TR  -  TC
12.  Break Even Point ( BEP ) akan terjadi pada saat : TR  =  TC
Contoh Soal:
1.         Diketahui Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukan oleh  P =  1200  -  2,5 Q 
Pertanyaan :
g.      Bagaimanakah persamaan total penerimaannya
h.      Berapa besarnya total penerimaan jika barang yang terjual sebanyak 200 unit.
i.        Berapa harga jual per-unit
j.        Hitunglah penerimaan marginal dari penjualan sebayak 200 unit menjadi 250 unit
k.      Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut
l.        Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok (BEP), jika diketahui TC = 2000  +  100 Q

Soal 2 :
Jika diketahui penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan adalah sebesar
TR  =  20 Q  -  0,10 Q2  sedangkan biaya total yang dikeluarkan  adalah sebesar :
TC  =  0,25 Q3 – 3 Q2 + 7 Q  + 20.
 Hitunglah profit perusahaan ini jika  terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.                     
FUNGSI PRODUKSI
Bentuk fungsi produk total yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak.
Bentuk umum dari fungsi produksi adalah :
Produk Total               :  P  =  f (X)
Produk rata-rata          :  AP  =  P / X
Produk Marginal         :  MP  =  ∆P / ∆X
            Secara grafik, kurve produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurve produk marginal ( MP =0 ). Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik belok kurva P. Disamping itu kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum AP. Hal ini dapat dilihat pada grafik berikut :
                               P
                         


                                                                                    P=f (X)





                                                                                                        AP
                                 0                                                                                        X
                                                                                                   MP
Contoh soal ;
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen adalah sebesar ;
P = 9 X2  -  X3
Buatlah persamaan produk rata-ratanya, serta hitunglah total produk  dan produk rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa marginal produknya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit.

Jawab :
P  =  9 X2  -  X3  →  AP  =  P / X  =  9 X  -  X2
Untuk  X = 6      →    P  =  9 ( 62 ) -  63 =  108
    →  AP  =  9 ( 6 ) -  62  =  18
Untuk  X  = 7      →    P  =  9 ( 72 ) -  73 =  98
                            →  MP  =  ∆ P /∆ X  =  108  -  98   =   -  10
                                                                        7 -  6

Kesimpulan ; produk marginal hasilnya negatif, artinya masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi.

2. PERKEMBANGAN SUKU BUNGA PADA BANK


I.        BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK

A.        BUNGA TUNGGAL
1.         Pengertian Bunga
Bunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama.
Contoh:
Seorang pedagang meminjam uang di bank sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan perjanjian bahwa uang tersebut harus dikembalikan dalam jangka waktu satu tahun dengan uang pengembalian sebesar Rp. 1.200.000,00.
Uang sebesar Rp 1.000.000,00 disebut modal sedangkan uang yang merupakan kelebihannya, yaitu Rp 200.000,00 disebut bunga atau jasa.
Jika besarnya bunga dibandingkan dengan jumlah modal simpanan atau pinjaman dinyatakan dalam persen, makanya nilainya disebut suku bunga dan biasanya dinyatakan dalam p %.
2.         Persen di atas seratus dan di bawah seratus
a.         Persen di atas seratus
Persen di atas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara pembilang dan penyebutnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis:
, dikatakan bunganya P% di atas seratus
Untuk menentukan p % di atas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
1)        
Dengan perhitungan biasa


2)         Dengan jumlah deret geometri turun tak hingga
·                Suku pertama a =
·                Rasio r =


Contoh:
Tentukan 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp. 200.000,- ?                   
·                                           Cara pertama, dengan rumus
·                                           Cara kedua, dengan deret geometri turun
5% x 200000                            = 10000     (–)
5% x 10000                              = 500         (+)
5% x 500                                  = 25           (–)
5% x 25                                    = 1,25        (+)
5% x 1,25                                 = 0,0625   
                                                    9523,8125
Sampai hasil perkalian kurang dari 1, kemudian hasilnya dihitung diperoleh Rp. 9523,8125
Jadi 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp. 200.000,00 adalah Rp. 9523,8125

b.         Persen di bawah seratus
Persen di bawah seratus adalah bentuk pecahan yang jumlah antara pembilang dan penyebutnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis:
, dikatakan bunganya p % dibawah seratus
Untuk menentukan p % di atas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
1)        
Dengan perhitungan biasa


2)         Dengan jumlah deret geometri turun tak hingga
·                Suku pertama a =
·                Rasio r =



Contoh:
Tentukan 5 % dibawah 100 dari modal sebesar Rp. 200.000,- adalah
Penyelesaian:
·                                        Cara pertama dengan rumus
·                                        Cara kedua dengan deret geometri turun
5% x 200000                         = 10000  (+)
5% x 10000                           = 500      (+)
5% x 500                               = 25        (+)
5% x 25                                 = 1,25     (+)
5% x 1,25                              = 0,0625
                                                 10526,3125
Sampai hasil perkalian kurang dari 1, kemudian hasilnya dihitung diperoleh                Rp. 10526,3125
Jadi 5 % diatas 100 dari modal sebesar Rp. 200.000,00 adalah Rp. 10526,3125

3.         Pengertian Bunga Tunggal
Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap).
Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama waktunya dan umumnya berbanding senilai pula dengan besarnya modal.
Jika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p % setahun maka:
a.         Setelah t tahun, besarnya bunga:
b.         Setelah t bulan, besarnya bunga:
c.         Setelah t hari, besarnya bunga:
-                 Jika satu tahun 360 hari, maka:
-                 Jika satu tahun 365 hari, maka:

-                 Jika satu tahun 366 hari (tahun kabisat), maka:
           

4.         Metode Perhitungan Bunga Tunggal
a.         Metode pembagi tetap
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah menentukan rumus untuk mencari besarnya bunga dari modal sebesar M dengan suku bunga p % setahun dalam jangka waktu  t hari yang dirumuskan sebagai berikut:
Bentuk disebut angka bunga dan  disebut pembagi tetap, maka rumus bunga tunggal di atas menjadi:
Jika beberapa modal (M1, M2, M3, …)dibungakan atas dasar bunga yang sama, maka untuk menghitung jumlah bunga dari modal-modal tersebut adalah:




b.         Metode persen yang sebanding
Metode persen yang sebanding digunakan jika suku bunga bukan merupakan pembagi habis 360, sebab dengan metode ini satu tahun dihitung 360 hari. Untuk soal seperti tersebut di atas maka langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
a).                                      Hitung besarnya bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga merupakan pembagi habis 360.
b).                                     Kemudian hitung besarnya bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang sebanding.

c.         Metode persen yang seukuran
Metode ini digunakan jikaditentukan 1 tahun = 365 hari. Satu-satunya pembagi tetap yang bulat adalah jika bunganya 5% setahun dan pembagi tetapnya
Bilangan
Jadi, besarnya bunga 5% sebanding dengan


5.         Perbedaan Bunga dengan Diskonto
Diskonto adalah bunga yang dibayarkan pada permulaan penerimaan pinjaman.
Jika nilai diskonto = D,
Jumlah uang yang diterima saat meminjam = Nilai Tunai (NT)
Jumlah uang yang harus dikembalikan = Nilai Akhir (NA),
maka D = NA – NT
Untuk menentukan besarnya diskonto, dapat digunakan 2 macam cara sebagai berikut:
a.         Diskonto dari Nilai Akhir
Keterangan:
D = diskonto
P = suku bunga diskonto
NA = nilai akhir
t = waktu pinjaman
k = 1, 12, 36




b.         Diskonto dari Nilai Tunai






B.        BUNGA MAJEMUK
1.        Pengertian dan Konsep Bunga Majemuk
Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.

2.        Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.
3.        Perhitungan Nilai Akhir Modal
a.                 Dengan menggunakan rumus
Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p % setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah:
·                Setelah satu tahun
·                Setelah dua tahun
·               
Setelah n tahun



b.                 Dengan masa bunga pecahan
Untuk menghitung nilai akhir modal dengan masa bunga pecahan, digunakan langkah sebagai berikut:
1.         Hitunglah dulu nilai akhir dari modal berdasarkan masa bunga majemuk yang terdekat
2.         Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir pada 1

4.        Perhitungan nilai tunai modal
a.         Rumus nilai tunai
Rumus nilai akhir bunga majemuk adalah ,
rumus tersebut dapat diubah menjadi:
M = modal mula-mula atau nilai tunai (NT)
Mn = modal setelah n jangka waktu, selanjutnya ditulis M
sehingga,
Jadi,

b.                 Nilai tunai modal dengan daftar bunga

c.                 Nilai tunai modal dengan masa bunga pecahan
Dari rumus nilai akhir modal dengan masa bunga pecahan, dapat dibentuk rumus nilai tunai modal dengan masa bunga pecahan sebagai berikut:
Diubah menjadi:
Jika M = nilai tunai yang ditulis NT dan = modal setelah  periode yang ditulis M, maka rumus di atas berubah menjadi:

II.        R E N T E

A.        PENGERTIAN DAN MACAM-MACAM RENTE
Rente adalah rentetan modal yang dibayarkan/diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya
 Misal :
Pada setiap awal tahun, Renita menyimpan uang sebesar M rupiah di C Bank dengan bunga p % per tahun. Berapa jumlah uang Renita di akhir tahun ke-n ?
1)         Dengan menggunakan rumus Deret Geometri
NA = M (1+i)1 + M (1+i)2+ M (1+i)3+....+ M (1+i)n-2+ M (1+i)n-1+ M (1+i)n
Persamaan diatas merupakan deret geometri dengan :
a = M (1+i)
r = 1+i
sehingga
NA =


                M (1+i)   (1+i)n-1
          =         
                      (1+i)-1
         
              M (1+i)   (1+i)n-1
          =         
                               i
          jadi,


2)         Menggunakan rumus Jumlah atau Notasi Sigma ( )
NA = M (1+i)1 + M (1+i)2+ M (1+i)3+....+ M (1+i)n-2+ M (1+i)n-1+ M (1+i)n